Question

1．已知集合M={y|y=x²+2x+4，x∈R}，N={y|y=ax²-2x+4a，x∈R}，若M∩N=M，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 若M∩N=M，則M⊆N，根據(jù)集合關(guān)系建立條件關(guān)系即可．

解答 解：若M∩N=M，則M⊆N，
M={y|y=x²+2x+4，x∈R}={y|y=（x+1）²+3≥3}=[3，+∞），
∴若a=0，則N={y|y=ax²-2x+4a}={y|y=-2x}=（-∞，+∞），滿足條件M⊆N．
若a＜0，拋物線開(kāi)口向下，不滿足條件．
若a＞0，則N={y|y=ax²-2x+4a}={y|y≥$\frac{16{a}^{2}-4}{4a}$=$\frac{4{a}^{2}-1}{a}$}，
若M⊆N，則$\frac{4{a}^{2}-1}{a}$≤3，即4a²-1≤3a，
即4a²-3a-1≤0，
解得$-\frac{1}{4}$≤a≤1，此時(shí)0＜a≤1，
綜上0≤a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查集合的基本關(guān)系的應(yīng)用，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．