Question

若定義在[-2011，2011]上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意x₁，x₂∈[-2011，2011]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，且x＞0時，f（x）＞2011，f（x）的最大值與最小值分別為M、N，則M+N的值（ ）
A．2010
B．2011
C．4020
D．4022

Answer 1

【答案】分析：利用賦值法，f（0）=2f（0）-2011可求f（0），然后令x₁=2011，x₂=-2011可求f（2011）+f（-2011），結(jié)合已知設(shè)x₁＜x₂，先證明函數(shù)的f（x）的單調(diào)性，進而可求函數(shù)的最大值與最小值
解答：解：∵對于任意x₁，x₂∈[-2011，2011]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，
∴f（0）=2f（0）-2011
∴f（0）=2011
令x₁=2011，x₂=-2011
∴f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011
∴f（2011）+f（-2011）=4022
設(shè)x₁＜x₂∈[-2011，2011]
則x₂-x₁＞0
∵x＞0時，f（x）＞2011，
∴f（x₂-x₁）＞2011
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2011＞f（x₁）
∴函數(shù)f（x）在[-2011，2011]上單調(diào)遞增
∴f（x）的最大值與最小值分別為M=f（2011）、N=f（-2011）
則M+N=f（2011）+f（-2011）=4022
故選D
點評：本題主要考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性的判斷及應(yīng)用，賦值法在求解函數(shù)最值中的應(yīng)用，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用