Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過P（1，

2

2

），離心率為

2

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若橢圓C上存在兩個不同的點M、N關(guān)于直線y=x+d對稱，求d的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)動直線l：mx+ny+

1

3

n=0（m，n∈R）交橢圓C于A、B兩點，試問在y軸正半軸上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）依題意得e=

c

a

=

2

2

，從而

x2

2b2

+

y2

b2

=1，把P（1，

2

2

），代入能求出橢圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點（x₀，y₀），利用點差法能求出d的范圍．
（Ⅲ）依題意，動直線l過定點（0，-

1

3

），當(dāng)直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1，與y軸正半軸交于點（0，1，由此推導(dǎo)出在y軸正半軸上存在一個定點Q（0，1）滿足條件．

解答： 解：（Ⅰ）依題意得e=

c

a

=

2

2

，
∴c=

2

2

a，b²=a²-c²=

1

2

a2，即a²=2b²，
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1，
又橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過P（1，

2

2

），
∴

1

2b2

+

1

2b2

=1，解得b=1，
∴橢圓的方程為

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點（x₀，y₀），
∴

x12

2

+y12=1，

x22

2

+y22=1，
兩式相減，得

x12-x22

2

+y12-

y22

=0，
∴

(x1+x2)•(x1-x2)

2

+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴

(x1+x2)(x1-x2)

2

=-(y1+y2)(y1-y2)，
∴x₀=-2y₀，y₀=x₀+d，∴x0=-

2d

3

，y0=

d

3

，
∴MN中點（-

2d

3

，

d

3

），∴

2x0(x1-x2)

2

=-2y0(y1-y2)，
∴

x0

2y0

=-

y1-y2

x1-x2

=-k_MN=-1，
∴

(- 2d 3 )2

2

+(

d

3

)2＜1，解得-

3

＜d＜

3

，
∴d的范圍是（-

3

，

3

）．
（Ⅲ）依題意，動直線l過定點（0，-

1

3

），
當(dāng)直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為x²+y²=1，
與y軸正半軸交于點（0，1）．
下面證明點Q（0，1）就是所求的點：
當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx-

1

3

，
由

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，得（18k²+9）x²-12kx-16=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x1+x2= 12k 18k2+9 x1x2= -16 18k2+9

，
∵

QA

=（x₁，y₁-1），

QB

=（x₂，y₂-1），

QA

•

QB

=x₁x₂+（y₁-1）（y₂-1）
=x1x2+(kx1-

4

3

)(kx2-

4

3

)
=（1+k²）x₁x₂-

4

3

k(x1+x2)+

16

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

4

3

k（x₁+x₂）+

16

9

=（1+k²）•

-16

18k2+9

-

4

3

k•

12k

18k2+9

+

16

9

=0．
∴QA⊥QB，即以AB為直徑的圓恒過點Q（0，1），
∴在y軸正半軸上存在一個定點Q（0，1）滿足條件．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．