Question

有四個(gè)命題：
①函數(shù)y=

x

-1（x≥0）的反函數(shù)是y=（x-1）²（x≥-1）；
②函數(shù)f（x）=lnx+x-2的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；
③函數(shù)y=

9-x2

|x+4|+|x-3|

的圖象關(guān)于y軸對稱；
④若

1

e

＜x＜1，則（

1

2

）^lnx＞e^lnx＞lnx．
其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①求出原函數(shù)的值域，解出x，然后將x換為y，y換為x，注明定義域，即可得到反函數(shù)；
②令y=lnx+x-2=0，分別畫出y=lnx，y=2-x的圖象，由圖象觀察即可；
③求出定義域，化簡函數(shù)式，即可判斷奇偶性，從而得到圖象的對稱性；
④由冪函數(shù)的單調(diào)性，判斷前兩個(gè)的大小，后兩個(gè)可令y=lnx-x，通過求導(dǎo)數(shù)，求出最值，即可判斷．

解答： 解：①函數(shù)y=

x

-1（x≥0）得到y(tǒng)≥-1．解出x=（y+1）²，則反函數(shù)為y=（x+1）²（x≥-1），即①錯(cuò)；
②令y=lnx+x-2=0，分別畫出y=lnx，y=2-x的圖象，
由圖象可知只有一個(gè)交點(diǎn)，即②錯(cuò)；
③函數(shù)y=

9-x2

|x+4|+|x-3|

，首先9-x²≥0即-3≤x≤3，
|x+4|=x+4，|x-3|=3-x，函數(shù)化為y=

9-x2

7

，
顯然有f（-x）=f（x），即為偶函數(shù)，故圖象關(guān)于y軸對稱，
即③正確；
④由于

1

e

＜x＜1，則-1＜lnx＜0，

1

2

＜e，由冪函數(shù)的單調(diào)性得
（

1

2

）^lnx＞e^lnx，
e^lnx=x，令y=lnx-x，則y′=

1

x

-1，得到x＞1，函數(shù)遞減，0＜x＜1，函數(shù)遞增，
即x=1函數(shù)取極大值，也是最大值，則y≤-1，即lnx＜x成立．即④對．
故答案為：③④

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及運(yùn)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，及反函數(shù)等，屬于基礎(chǔ)題．