Question

已知tan(

π

4

+θ)=3，則sin2θ-2cos²θ+1的值為

1

5

．

Answer 1

分析：把已知等式的左邊利用兩角和的正切函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，得到tanθ的值，然后把所求式子第一項利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡，最后一項利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系把“1”化為sin²θ+cos²θ，合并后，把分母“1”也化為sin²θ+cos²θ，分子分母同時除以cos²θ，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，將tanθ的值代入即可求出值．

解答：解：∵tan(

π

4

+θ)=

1+tanθ

1-tanθ

=3，
∴tanθ=

1

2

，
則sin2θ-2cos²θ+1=2sinθcosθ-2cos²θ+sin²θ+cos²θ
=2sinθcosθ-cos²θ+sin²θ
=

2tanθ+tan2θ-1

tan2θ+1

=

1

5

．
故答案為：

1

5

點評：此題考查了兩角和與差的正切函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握公式及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．