Question

數(shù)列{a_n}中，an+1=

an2

2an-2

，n∈N^*．
（I）若a1=

9

4

，設(shè)bn=log

1

3

an-2

an

，求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若a₁＞2，n≥2，n∈N，用數(shù)學(xué)歸納法證明：2＜an＜2+

a1-2

2n-1

．

Answer 1

分析：（I）由題意知b_n+1=2b_n，b1=log

1

3

a1-2

a1

=2，數(shù)列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，由此可log

1

3

an-2

an

=2n，所以an=

2

1-( 1 3 )2n

．
（II）根據(jù)題設(shè)條件利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明．

解答：解：（I）證明：
∵bn+1=log

1

3

an+1-2

an+1

=log

1

3

a 2 n 2an-2 -2

a 2 n 2an-2

=log

1

3

(

an-2

an

)2=2log

1

3

(

an-2

an

)=2bn，
（2分）
∵b1=log

1

3

a1-2

a1

=2，∴數(shù)列{b_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，（4分）

∴b_n=2ⁿ，即log

1

3

an-2

an

=2n，得

an-2

an

=(

1

3

)2n，所以an=

2

1-( 1 3 )2n

．（6分）
（II）證明：（i）當(dāng)n=2時，∵a₁＞2，
∴a2-2=

a 2 1

2a1-2

-2=

(a1-2)2

2a1-2

＞0，
∴a2-2-

a1-2

2

=

(a1-2)2

2a1-2

-

a1-2

2

=

2-a1

2(a1-1)

＜0，
∴2＜a2＜2+

a1-2

21

，不等式成立；（8分）
（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時，2＜ak＜2+

a1-2

2k-1

成立，
那么，當(dāng)n=k+1時，去證明2＜ak+1＜2+

a1-2

2k

∵ak+1-2=

ak

2ak-2

-2=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，
∴a_k+1＞2；
∵ak+1-2-

a1-2

2k

=

(ak-2)2

2(ak-1)

-

a1-2

2k

＜

(ak-2)2

2(ak-2)

-

a1-2

2k

=

ak-2

2

-

a1-2

2k

，

ak-2

2

-

a1-2

2k

＜

2+ a1-2 2k-1 -2

2

-

a1-2

2k

=0
∴ak+1＜2+

a1-2

2k

；
∴2＜ak+1＜2+

a1-2

2k

，
所以n=k+1不等式也成立，
由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要注意數(shù)學(xué)歸納法的解題步驟，注意解題的嚴(yán)密性．