Question

如圖所示，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，BC=2，CC₁=5，M為棱CC₁上一點(diǎn)．
（1）若，求異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)M使得BM⊥平面A₁B₁M？若存在，求出C₁M的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點(diǎn)M作MN∥C₁D，交D₁D于N，連接A₁N，可得∠A₁MN或其補(bǔ)角就是異面直線A₁M和C₁D₁所成角．再在Rt△A₁NM中利用勾股定理和正切函數(shù)的定義，即可得到異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值；
（2）先假設(shè)存在M點(diǎn)，使得BM⊥平面A₁B₁M，并設(shè)C₁M=x．根據(jù)平面幾何知識(shí)Rt△B₁MB∽R(shí)t△MB₁C₁，得到B₁M^是B₁B和C₁M的比例中項(xiàng)，通過計(jì)算可得x=1或4，由此可知存在點(diǎn)M使得BM⊥平面A₁B₁M．
解答：解：（1）過點(diǎn)M作MN∥C₁D，交D₁D于N，連接A₁N，
則∠A₁MN或其補(bǔ)角就是異面直線A₁M和C₁D₁所成角
在Rt△A₁NM中，AB=1，A₁N==
∴tan∠A₁MN==
由此可得，當(dāng)時(shí)，異面直線A₁M和C₁D₁所成角的正切值為；
（2）∵A₁B₁⊥平面BB₁C₁C，BM⊆平面BB₁C₁C，
∴A₁B₁⊥BM，
因此可得：只要B₁M⊥BM，就有BM⊥平面A₁B₁M．
假設(shè)存在M點(diǎn)，使得BM⊥平面A₁B₁M，設(shè)C₁M=x
則矩形BB₁C₁C中，B₁M⊥BM，所以∠MB₁C₁=∠MBB₁
∴Rt△B₁MB∽R(shí)t△MB₁C₁，所以=
∴B₁M²=B₁B•C₁M，可得4+x²=5x，解之得x=1或4
∴當(dāng)C₁M的長為1或4時(shí)，存在點(diǎn)M使得BM⊥平面A₁B₁M．
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊的四棱柱，求異面直線所成角并探索線面垂直的存在性，著重考查了異面直線所成角的求法和線面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．