Question

設(shè)T_n為數(shù)列{a_n}：2，3，5，7，11，…的前n項(xiàng)積，可以發(fā)現(xiàn)T₁+1，T₂+1，T₃+1等都是質(zhì)數(shù)，用反證法證明：正質(zhì)數(shù)有無限個(gè)．

Answer 1

考點(diǎn)：遞歸數(shù)列及其性質(zhì)

專題：證明題,推理和證明

分析：假設(shè)正質(zhì)數(shù)只有p₁，p₂，…，p_n這n個(gè)數(shù)，可知p₁p₂…p_n+1也為質(zhì)數(shù)，從而得到矛盾．

解答： 證明：假設(shè)正質(zhì)數(shù)只有p₁，p₂，…，p_n這n個(gè)數(shù)．
則將這n正質(zhì)數(shù)相乘再加1得到p₁p₂…p_n+1，
很容易發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)除以p₁余1，除以p₂余1，…除以p_n余1，
所以這個(gè)數(shù)不能被p₁，p₂，…，p_n中的任何一個(gè)數(shù)整除，
所以這個(gè)數(shù)是一個(gè)不同于p₁，p₂，…，p_n的素?cái)?shù)，
這與假設(shè)矛盾．
所以正質(zhì)數(shù)有無限個(gè)．

點(diǎn)評：本題考查了反證法證明的步驟，同時(shí)考查了質(zhì)數(shù)的定義，屬于中檔題．