Question

設(shè)a＞0，函數(shù)．
（Ⅰ）證明：存在唯一實(shí)數(shù)，使f（x）=x；
（Ⅱ）定義數(shù)列{x_n}：x₁=0，x_n+1=f（x_n），n∈N^*．
（i）求證：對任意正整數(shù)n都有x_2n-1＜x＜x_2n；
（ii） 當(dāng)a=2時(shí)，若，證明：對任意m∈N^*都有：．

Answer 1

【答案】分析：第1問在一個(gè)區(qū)間有唯一零點(diǎn)需滿足兩個(gè)條件：（1）在這個(gè)區(qū)間單調(diào)；（2）區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值異號．第2問要利用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在于x_n+1=f（x_n）的應(yīng)用．第3問要分k=1，k≥2，情況進(jìn)行證明為m∈N^*時(shí)證明做鋪墊，在其中結(jié)合不等式證明方法中的放縮法進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，還有等比數(shù)列求和公式．
解答：解：（Ⅰ）證明：①f（x）=x?x³+ax-1=0．…（1分）
令h（x）=x³+ax-1，則h（0）=-1＜0，，
∴．…（2分）
又h′（x）=3x²+a＞0，∴h（x）=x³+ax-1是R上的增函數(shù)．…（3分）
故h（x）=x³+ax-1在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)，
即存在唯一實(shí)數(shù)使f（x）=x．…（4分）
（Ⅱ）（i）當(dāng)n=1時(shí)，x₁=0，，由①知，即x₁＜x＜x₂成立；…（5分）
設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，x_2k-1＜x＜x_2k，注意到在（0，+∞）上是減函數(shù)，且x_k＞0，
故有：f（x_2k-1）＞f（x）＞f（x_2k），即x_2k＞x＞x_2k+1
∴f（x_2k）＜f（x）＜f（x_2k+1），…（7分）
即x_2k+1＜x＜x_2k+2．這就是說，n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
故對任意正整數(shù)n都有：x_2n-1＜x＜x_2n．…（8分）
（ii）當(dāng)a=2時(shí)，由x₁=0得：，…（9分）
當(dāng)k=1時(shí)，…（10分）
當(dāng)k≥2時(shí)，∵，
∴…（12分）
對?m∈N^*，
|x_m+k-x_k|=|（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+…+（x_k+1-x_k）|≤|x_m+k-x_m+k-1|+|x_m+k-1-x_m+k-2|+…+|x_k+1-x_k|
…（13分）
=…（14分）
點(diǎn)評：本題考查了在一個(gè)區(qū)間有唯一零點(diǎn)需滿足的條件，往往會出現(xiàn)只對端點(diǎn)函數(shù)值異號，而忽略單調(diào)的條件出現(xiàn)錯誤．第2問考查了數(shù)學(xué)歸納法證明，難點(diǎn)在于由 n=k時(shí)成立，如何得出n=k+1也成立．第3問難點(diǎn)在于|x_m+k-x_k|=|（x_m+k-x_m+k-1）+（x_m+k-1-x_m+k-2）+…+（x_k+1-x_k）|這個(gè)式子的得出．總體來說本題比較難．