Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面為直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，且PA=AB=BC=1，AD=2．
（Ⅰ）設M為PD的中點，求證：CM∥平面PAB；
（Ⅱ）求側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：取PA的中點N，連接BN、NM，在△PAD中，MN∥AD，且MN=AD=1，又BC∥AD，且BC═AD=1
所以MN∥BC，MN=BC，即四邊形BCMN為平行四邊形，
∴CM∥BN
又CM?平面PAB，BN?平面PAB，
∴CM∥平面PAB．…（5分）
（Ⅱ）解：在平面四邊形ABCD中，AB與CD不平行，延長AB、CD交于一點，設為E，
連接PE，則PE為側面PAB與側面PCD所成二面角的棱，又由題設可知DA⊥側面PAB，于是過A作AF⊥PE于F，連接DF，由三垂線定理可知∠AFD為側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角．…（8分）
在△EAD中，由BC∥AD，BC=AD，知B為AE為中點，∴AE=2，
在Rt△PAE中，PA=1，AE=2，∴PE=，AF=．故tan∠AFD=
∴cos∠AFD=
即所求側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角的余弦值為
分析：（I）取PA的中點N，連接BN、NM，根據(jù)三角形中位線定理，結合已知條件可證得四邊形BCMN為平行四邊形，CM∥BN，再由線面平行的判定定理得到結論；
（II）延長AB、CD交于一點，設為E，連接PE，由三垂線定理可知∠AFD為側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角，解△EAD與Rt△PAE，即可求出側面PAB與側面PCD所成二面角的平面角的余弦值．
點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關鍵是掌握線面平行的判斷，正確作出面面角，屬于中檔題．