Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，且有a₁=2，3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）對(duì)3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1化簡(jiǎn)整理得，進(jìn)而可以推斷數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得答案．
（Ⅱ）把（1）中求得a_n代入b_n=（2n-1）a_n中求得b_n，進(jìn)而通過(guò)錯(cuò)位相減法求得T_n．
解答：解：（Ⅰ）由3S_n=5a_n-a_n-1+3S_n-1
∴3a_n=5a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*）
∴，（n≥2，n∈N^*），
所以數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2^2-n
（Ⅱ）b_n=（2n-1）•2^2-n
∴T_n=1×2+3×2+5×2^-1++（2n-1）•2^2-n
同乘公比得
∴
=
∴T_n=12-（2n+3）•2^2-n．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對(duì)于由等比數(shù)列和等差數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列常可用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和．