Question

已知x₀，x₀+

π

2

是函數(shù)f（x）=

3

2

sin（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的兩個相鄰的零點，函數(shù)與y軸相交于（0，

3

4

）
（1）求f（

π

12

）的值；
（2）若對任意x∈[-

7π

12

，0），都有|f（x）-m|≤1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）條件三角函數(shù)的性質(zhì)求出ω 和φ的值即可求f（

π

12

）的值；
（2）求出函數(shù)在x∈[-

7π

12

，0）的取值范圍，結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)進行求解．

解答： 解：（1）∵x₀，x₀+

π

2

是函數(shù)f（x）=

3

2

sin（2ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的兩個相鄰的零點，
∴函數(shù)的周期T=2（x₀+

π

2

-x₀）=2×

π

2

=π，則

2π

2ω

=π，
∴ω=1，
∵函數(shù)與y軸相交于（0，

3

4

），
∴f（0）=

3

2

sinφ=

3

4

，
即sinφ=

3

2

，
即φ=

π

3

，
則f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

），
即f（

π

12

）=

3

2

sin（2×

π

12

+

π

3

）=

3

2

sin

π

2

=

3

2

．
（2）∵f（x）=

3

2

sin（2x+

π

3

），
∴若x∈[-

7π

12

，0），
則2x∈[-

7π

6

，0），
2x+

π

3

∈[-

5π

6

，

π

3

），
則-1≤sin（2x+

π

3

）＜

3

2

，
則-

3

2

≤

3

2

sin（2x+

π

3

）＜

3

4

，
即-

3

2

≤f（x）＜

3

4

，
∴1-

3

2

≤1+f（x）＜

7

4

，
-

7

4

＜-1-f（x）≤-1-

3

2

，
若|f（x）-m|≤1，
則-1-f（x）≤m≤1+f（x），
即-1-

3

2

≤m≤1-

3

2

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解和求值，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．