Question

14．（Ⅰ）已知某橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$P（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{14}}}{4}）$，求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及離心率；
（Ⅱ）某圓錐曲線以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)$（2，\sqrt{3}），（\frac{3}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{4}）$，求該曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)以及離心率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用橢圓的定義和兩點(diǎn)的距離公式，可得a，再由條件可得c=1，b=1，進(jìn)而得到橢圓方程和離心率；
（Ⅱ）設(shè)該曲線方程為mx²+ny²=1，代入兩點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程可得m，n，進(jìn)而得到所求標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)、離心率．

解答 解：（Ⅰ）$|P{F_1}|+|P{F_2}|=2a=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{14}{16}}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{14}{16}}=2\sqrt{2}$，
所以$a=\sqrt{2}$，又c=1，可得b=1，
所以橢圓方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（Ⅱ）設(shè)該曲線方程為mx²+ny²=1，
將$（2，\sqrt{3}），（\frac{3}{2}，-\frac{{\sqrt{6}}}{4}）$代入可得$\left\{{\begin{array}{l}{4m+3n=1}\\{\frac{9}{4}m+\frac{3}{8}n=1}\end{array}}\right.$，
解得$m=\frac{1}{2}，n=-\frac{1}{3}$，
所以該方程為$\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$，
是焦點(diǎn)為$（±\sqrt{5}，0）$，離心率為$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$的雙曲線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓和雙曲線的方程的求法，注意運(yùn)用定義法和幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．