Question

5．定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=2f（x），當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x，x∈[0，1）}\\{lo{g}_{\sqrt{2}}（x+1），x∈[1，2）}\end{array}\right.$，若x∈[-2，0）時，對任意的t∈[1，2]都有f（x）≥$\frac{t}{16}$-$\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，6）
• B． [6，+∞）
• C． （-∞，6]
• D． （-∞，12]

Answer 1

分析 首先求解出在x∈[-2，0）時的分段函數(shù)表達(dá)式，然后求解出這個函數(shù)的最小值，然后再利用恒成立的條件求解．

解答 解：由題意得f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+2），當(dāng)x∈[-2，-1）時，x+2∈[0，1），f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+2）=$\frac{1}{4}[（x+2）^{2}-（x+2）]$＞f（-$\frac{3}{2}$）=$-\frac{1}{16}$，當(dāng)x∈[-1，0）時，
x+2∈[1，2），f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+2）=$\frac{1}{4}$$lo{g}_{\sqrt{2}}（x+3）$≥f（1）=1，所以當(dāng)x∈[-2，0）時，f（x）的最小值是-$\frac{1}{16}$，所以對任意的t∈[1，2]都有-$\frac{1}{16}$≥$\frac{t}{16}$-$\frac{a}{8{t}^{2}}$成立，所以2a≥t³+t²，令g（t）=t³+t²，g′（t）=3t²+2t，由g′（t）＞0得t＜-$\frac{2}{3}$或t＞0，即t∈[1，2]時g（t）單調(diào)遞增，所以g（t）最大值是g（2）=12，所以2a≥12，
所以a≥6，
故選：B．

點(diǎn)評 關(guān)鍵是求解出f（x）在已知區(qū)間上的最小值，以及正確利用不等式恒成立的條件進(jìn)行分離參數(shù)求解．