Question

10．已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線Г的焦點(diǎn)與雙曲線x²-y²=1的右頂點(diǎn)重合．
（Ⅰ）求拋物線Г的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)P（1，0）的動(dòng)直線l交拋物線Г于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑作圓C，試探究是否存在實(shí)數(shù)m，使得直線x=m總是與圓C相切，如果存在，求出直線方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出雙曲線的頂點(diǎn)，可得拋物線的焦點(diǎn)，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得直線x=m總是與圓C相切，由直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合拋物線的定義，可得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而得到m=-1總成立，即可判斷存在．

解答 解：（Ⅰ）雙曲線x²-y²=1的右頂點(diǎn)為（1，0），
則拋物線的焦點(diǎn)為（1，0），
即有拋物線Г的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使得直線x=m總是與圓C相切，
即有圓心到直線的距離等于AB長(zhǎng)的一半．
拋物線的準(zhǔn)線為x=-1，
設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由于直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)（1，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由拋物線的定義可得，|AB|=x₁+1+x₂+1=（x₁+x₂）+2，
由假設(shè)可得|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$-m|=1+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，
即有m=-1，
故存在實(shí)數(shù)m=-1，使得直線x=-1總是與圓C相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的定義和方程的運(yùn)用，同時(shí)考查直線和圓的位置關(guān)系：相切，屬于中檔題．