Question

已知函數(shù)y=f（x）（x∈R）不恒為零，且對于任意實數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=x₁f（x₂）+x₂f（x₁）．若f（x）是以3為周期的周期函數(shù)，在區(qū)間（-6，6）內(nèi)方程f（x）=0有且只有15個根，并且最大的根是x=5，求方程f（x）=0在區(qū)間（-6，6）內(nèi)所有的根．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用賦值法先由條件“對于任意實數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=x₁f（x₂）+x₂f（x₁）”得出隱含條件f（x）是奇函數(shù)，再結(jié)合3為周期，反復(fù)利用兩個性質(zhì)得出所有的根．

解答： 解：∵對于任意實數(shù)x₁，x₂，都有f（x₁x₂）=x₁f（x₂）+x₂f（x₁），令x₁=x₂=1得f（1）=0，
再令x₁=x₂=-1得f（1）=-2f（-1）=0，∴f（-1）=0，
再令x₁=-1，x₂=x代入得f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），∴函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
又∵x∈R，∴f（0）=0；所以0，-1，1是f（x）=0的根，結(jié)合f（x）以3為周期，且是奇函數(shù)，
則f（-1）=f（1）=f（-4）=f（4）=0，f（0）=f（3）=f（-3）=0，由已知f（5）=0，∴f（-5）=f（-2）=f（2）=0，
∴f（1）=f(2×

1

2

)=2f(

1

2

)+

1

2

f(2)=0，∴f(

1

2

)=0，同理f（

1

3

）=f（

1

4

）=f（

1

5

）=0，又∵在區(qū)間（-6，6）內(nèi)方程f（x）=0有且只有15個根，
∴方程f（x）=0在區(qū)間（-6，6）內(nèi)的根為：0，-1，1，-2，2，-3，3，-4，4，-5，5，

1

2

，

1

3

，

1

4

，

1

5

，共15個．

點(diǎn)評：這個題以抽象函數(shù)為載體，利用賦值法推出其奇函數(shù)的性質(zhì)，然后將周期性與奇偶性相結(jié)合，反復(fù)利用、轉(zhuǎn)換，直到求出所有的值，有一定難度．