Question

17．已知函數(shù)f（x）=-（x-2m）（x+m+3）（其中m＜-1），g（x）=2^x-2．
（1）若命題“l(fā)og₂g（x）＜1”是真命題，求x的取值范圍；
（2）設(shè)命題p：?x∈（1，+∞），f（x）＜0或g（x）＜0；，若P是真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由于命題“l(fā)og₂g（x）≥1”是假命題，由log₂g（x）≥1解出，進而得出；
（II）由于當(dāng)x＞1時，g（x）＞0，要p是真命題，可得f（x）＜0在（1，+∞）恒成立，可得m的取值范圍

解答 解：∵命題“l(fā)og₂g（x）＜1”是真命題，即${log_2}（{2^x}-2）＜1$，
∴0＜2^x-2＜2，解得1＜x＜2，∴x的取值范圍是（1，2）；
（2）∵p是真命題，
當(dāng)x＞1時，g（x）=2^x-2＞0，要使p是真命題，必須f（x）＜0
∵m＜-1，∴2m＜-m-3，∴f（x）＜0⇒x＜2m或x＞-m-3
∴-m-3≤1，解得-1＞m≥-4
m的取值范圍：-4≤m＜-1．

點評 本題考查了已知命題真假求參數(shù)范圍的方法，同時又涉及到不等式及函數(shù)的基礎(chǔ)知識，屬于中檔題．