Question

求函數(shù)y=log 

1

2

（x-x²）的單調(diào)增區(qū)間，并求函數(shù)的最小值．

Answer 1

分析：令t=x-x² ＞0，求得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）且y=log

1

2

t，本題即求函數(shù)t在（0，1）上的減區(qū)間．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t=-(x-

1

2

)2+

1

4

在（0，1）上的減區(qū)間，再利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值．

解答：解：令t=x-x² ＞0，求得 0＜x＜1，
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，1）且y=log

1

2

t，
故本題即求函數(shù)t在（0，1）上的減區(qū)間．
再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t=x-x² =-(x-

1

2

)2+

1

4

 在（0，1）上的減區(qū)間為[

1

2

，1），
故函數(shù)y=log 

1

2

（x-x²）的單調(diào)增區(qū)間為[

1

2

，1）．
由于當(dāng)x=

1

2

時(shí)，函數(shù)t取得最大值為

1

4

，
故函數(shù)y的最小值為log

1

2

1

4

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．