Question

1．某種蔬菜基地種植西紅柿由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價p與上市時間t的關(guān)系圖是一條折線（如圖（1）），種植成本Q與上市時間t的關(guān)系是一條拋物線（如圖（2））．
（1）寫出西紅柿的市場售價與時間的函數(shù)解析式p=f（t）．
（2）寫出西紅柿的種植成本與時間的函數(shù)解析式Q=g（t）．
（3）認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？

Answer 1

分析 （1）本題是一次函數(shù)的分段函數(shù)，運用一次函數(shù)的解析式，即可得到所求；
（2）運用二次函數(shù)的解析式，解方程可得，寫出自變量的范圍；
（3）基本等量關(guān)系是：純收益=市場售價-種植成本．由于P是分段函數(shù)，所以h也是分段函數(shù)，求最大利潤，就要在每一個分段函數(shù)內(nèi)，根據(jù)自變量取值范圍，函數(shù)性質(zhì)來確定．

解答 解：（1）由圖-設(shè)f（t）=kt+300，（0≤t≤200），
代入（200，100），可得k=-1；
設(shè)f（t）=mt+b，200＜t≤300，代入（200，100），（300，300），
可得100=200m+b，300m+b=300，解得m=2，b=-300．
可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為
P=f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{300-t，0≤t≤200}\\{2t-300，200＜t≤300}\end{array}\right.$；
（2）由圖二可得可設(shè)g（t）=a（t-150）²+100，
代入點（50，150），解得a=$\frac{1}{200}$，
則種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為
Q=g（t）=$\frac{1}{200}$（t-150）²+100，0≤t≤300；
（3）設(shè)t時刻的純收益為h，則由題意得h=P-Q，即
h=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{200}{t}^{2}+\frac{1}{2}t+\frac{175}{2}，0≤t≤200}\\{-\frac{1}{200}{t}^{2}+\frac{7}{2}t-\frac{1025}{2}，200＜t≤300}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤t≤200時，配方整理得h=-$\frac{1}{200}$（t-50）²+100，
所以，當(dāng)t=50時，h（t）取得區(qū)間[0，200]上的最大值100
當(dāng)200＜t≤300時，配方整理得h=-$\frac{1}{200}$（t-350）²+100，
所以，當(dāng)t=300時，h取得區(qū)間[200，300]上的最大值87.5，
綜上，由100＞87.5可知，h在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，
此時t=50，即從二月一日開始的第50天時，上市的西紅柿純收益最大．

點評 本題考查一次函數(shù)與分段函數(shù)，二次函數(shù)，自變量取值范圍在本題中都得到了體現(xiàn)，要根據(jù)題目給的范圍，找準(zhǔn)等量關(guān)系，分段求最大值．