若
a
、
b
是兩個不共線的非零向量（t∈R）．
（1）若
a
、
b
起點相同，t為何值時，若
a
、t
b
、
1
3
（
a
+
b
）三向量的終點在一直線上？
（2）若|
a
|=|
b
|且
a
與
b
是夾角為60°，那么t為何值時，|
a
-t
b
|有最小？
分析：（1）用兩個向量共線的充要條件，可解決平面幾何中的平行問題或共線問題，根據(jù)三個向量的終點在一條直線上，構(gòu)造向量，得到向量之間的關(guān)系，得到要求的結(jié)果．
（2）求一個量的最小值，一般要先表示出這個變量，對于模長的運算，要對求得結(jié)果兩邊平方，變化為向量的數(shù)量積和模長之間的運算，根據(jù)二次函數(shù)的最值得到結(jié)果．
解答：解：（1）設
a
-t
b
=m[
a
-
1
3
（
a
+
b
）]（m∈R），
化簡得（
2m
3
-1）
a
=（
m
3
-t）
b
．
∵
a
與
b
不共線，
∴
2m
3
-1=0
m
3
-t=0
?
m=
3
2
t=
1
2
.

∴t=
1
2
時，
a
、t
b
、
1
3
（
a
+
b
）的終點在一直線上．
（2）|
a
-t
b
|2=（
a
-t
b
）2=|
a
|2+t2|
b
|2-2t|
a
||
b
|cos60°=（1+t2-t）|
a
|2，
∴t=
1
2
時，|
a
-t
b
|有最小值
3
2
|
b
|．
點評：本題表面上是對向量數(shù)量積的考查，根據(jù)兩個向量的夾角和模，用數(shù)量積列出式子，但是這步工作做完以后，題目的重心轉(zhuǎn)移到求值域的問題，用二次函數(shù)求值域．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出以下四個命題：
①對任意兩個向量
a
，
b
都有|
a
•
b
|=|
a
|•|
b
|；
②若
a
，
b
是兩個不共線的向量，且
AB
=λ1
a
+
b
，
AC
=
a
+λ2
b
(λ1，λ2∈R)，則A、B、C共線?λ1λ2=-1；
③若向量
a
=(cosα，sinα)，
b
=(cosβ，sinβ)，則
a
+
b
與
a
-
b
的夾角為90°；
④若向量
a
、
b
滿足|
a
|=3，|
b
|=4，|
a
+
b
|=
13
，則
a
，
b
的夾角為60°．
以上命題中，錯誤命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若a，b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當t為何值時，a,tb,(a+b)三向量的終點在同一條直線上？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出以下四個命題：

①對任意兩個向量a，b都有|a·b|＝|a||b|；

②若a，b是兩個不共線的向量，且＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則A、B、C共線⇔λ1λ2＝－1；

③若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，則a＋b與a－b的夾角為90°.

④若向量a、b滿足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝，則a，b的夾角為60°.

以上命題中，錯誤命題的序號是________．

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆河北省高一12月月考數(shù)學試卷 題型：解答題

若a，b是兩個不共線的非零向量，t∈R.若|a|＝|b|=2且a與b夾角為60°，t為何值時，|a－tb|的值最�。�

 

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