Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²，（a為常數(shù)）
（1）若a=-2，求證：f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若存在x∈[1，e]，使f（x）≤（a+2）x，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件知 f′(x)=-

2

x

+2x=

2(x2-1)

x

，當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，即可證明結(jié)論；
（2）由f（x）≤（a+2）x知alnx+x²-（a+2）x≤0，設(shè)g（x）=alnx+x²-（a+2）x，據(jù)題意，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g（x）_min≤0，g′(x)=

a

x

+2x-(a+2)=

(2x-a)(x-1)

x

=

2(x- a 2 )(x-1)

x

．再通過分類討論可知a的取值范圍是[-1，+∞）．

解答：解：（1）a=-2，f（x）=-2lnx+x²f′(x)=-

2

x

+2x=

2(x2-1)

x

，∵當(dāng)x＞1時(shí)，x²-1＞0，∴f'（x）＞0
故f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）令g（x）=f（x）-（a+2）x，
若存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x等價(jià)于：當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，g（x）_min≤0g′(x)=

a

x

+2x-(a+2)=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(x-1)(2x-a)

x

，x∈[1，e]
由g'（x）=0解得x1=1，x2=

a

2

（i）當(dāng)

a

2

≤1時(shí)，g'（x）＞0，g（x）在[1，e]上單調(diào)增，g（x）_min=g（1）=1-（a+2）≤0，∴-1≤a≤2
（ii）當(dāng)1＜

a

2

＜e時(shí)，

x	(1， a 2 )	a 2	( a 2 ，e)
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

∴g(x)min=g(

a

2

)=aln

a

2

-

a2

4

-a，∵0＜ln

a

2

＜1∴aln

a

2

-a＜0
∴2＜a＜2e時(shí)，g（x）≤0恒成立．
（iii）當(dāng)

a

2

≥e時(shí)，g'（x）＜0，g（x）在[1，e]上單調(diào)減g（x）_min=g（e）=a+e²-（a+2）e≤0，∴a≥

e2-2e

e-1

又

e2-2e

e-1

-2e=

-e2

e-1

＜0，∴a≥2e
綜上可知，當(dāng)a≥-1時(shí)，存在x∈[1，e]使f（x）≤（a+2）x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．