【題目】若P為橢圓 =1上任意一點,F(xiàn)1 , F2為左、右焦點,如圖所示.
(1)若PF1的中點為M,求證:|MO|=5﹣ |PF1|;
(2)若∠F1PF2=60°,求|PF1||PF2|之值;
(3)橢圓上是否存在點P,使 =0,若存在,求出P點的坐標(biāo),若不存在,試說明理由.
【答案】
(1)證明:在△F1PF2中,MO為中位線,
∴|MO|= =
=a﹣ =5﹣ |PF1|
(2)解:∵|PF1|+|PF2|=10,
∴|PF1|2+|PF2|2=100﹣2|PF1||PF2|,
在△PF1F2中,cos 60°= ,
∴|PF1||PF2|=100﹣2|PF1||PF2|﹣36,
∴|PF1||PF2|= .
(3)解:設(shè)點P(x0,y0),則 .①
易知F1(﹣3,0),F(xiàn)2(3,0),故 =(﹣3﹣x0,﹣y0), =(3﹣x0,﹣y0),
∵ =0,
∴x ﹣9+y =0,②
由①②組成方程組,此方程組無解,故這樣的點P不存在.
【解析】(1)在△F1PF2中,MO為中位線,根據(jù)三角形的中位線定理再結(jié)合橢圓的定義即可得出答案;(2)先利用橢圓的定義得到:|PF1|+|PF2|=10,再在△PF1F2中利用余弦定理得出cos 60°= ,兩者結(jié)合即可求得|PF1||PF2|;(3)先設(shè)點P(x0 , y0),根據(jù)橢圓的性質(zhì),易知F1(﹣3,0),F(xiàn)2(3,0),寫出向量的坐標(biāo)再結(jié)合向量垂直的條件得出關(guān)于P點坐標(biāo)的方程組,由此方程組無解,故這樣的點P不存在.
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:即可以解答此題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}是首項a1=4的等比數(shù)列,且S3 , S2 , S4成等差數(shù)列,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=log2|an|,設(shè)Tn為數(shù)列 的前n項和,若Tn≤λbn+1對一切n∈N*恒成立,求實數(shù)λ的最小值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x+ )+1,△ABC中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c.
(1)若角A、B、C成等差數(shù)列,求f(B)的值;
(2)若f( ﹣ )= ,邊a、b、c成等比數(shù)列,△ABC的面積S= ,求△ABC的周長.
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【題目】已知過雙曲線C: =1(a>0,b>0)的中心的直線交雙曲線于點A,B,在雙曲線C上任取與點A,B不重合的點P,記直線PA,PB,AB的斜率分別為k1 , k2 , k,若k1k2>k恒成立,則離心率e的取值范圍為( )
A.1<e<
B.1<e≤
C.e>
D.e≥
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【題目】如圖,點P(0,﹣1)是橢圓C1: =1(a>b>0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑,l1 , l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D.
(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積的最大值時直線l1的方程.
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【題目】如圖,正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,點E在CC1上且C1E=3EC
(1)證明:A1C⊥平面BED;
(2)求二面角A1﹣DE﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(2)若是函數(shù)圖像上不同的三點,且,試判斷與之間的大小關(guān)系,并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(1)當(dāng)時,求函數(shù) 的極小值;
(2)若函數(shù)在上為增函數(shù),求的取值范圍.
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