Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，27

3

 ）在y軸正半軸上，點(diǎn)P_n（3^n-1，0）在x軸上，記∠P_nAP_n+1=θ_n，y_n=tanθ_n，n∈N^*，則y_n 取最大值時(shí)，θ_n的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：表示出tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n），利用基本不等式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性，即可求得結(jié)論．

解答： 解：由題意可得tan∠OAP_n=

3n-1

27 3

，tan∠OAP_n+1=

3n

27 3

，
∴y_n=tanθ_n=tan（∠OAP_n+1-∠OAP_n ）=

tan∠OAPn+1-tan∠OApn

1+tan∠OAPn+1•tan∠OAPn

=

3n 27 3 - 3n-1 27 3

1+ 3n 27 3 • 3n-1 27 3

=

27 3 (3n-3n-1)

(27 3 )2+3n•3n-1

=

27 3 (3-1)

(27 3 )2 3n-1 +3n

≤

54 3

2 (27 3 )2×3

=

3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

(27 3 )2

3n-1

=3ⁿ，即n=4時(shí)，取等號(hào)．
即當(dāng)n=4時(shí)，y_n=tanθ_n  取得最大值為

3

3

，故此時(shí)θ_n的值為

π

6

，
故答案為：

π

6

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列，考查差角的正切函數(shù)，考查基本不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用差角的正切公式是關(guān)鍵，屬于中檔題．