Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³+$\frac{3}{2}$（1-a）x²-3ax+1，a＞0，
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：對(duì)于任意整數(shù)a，存在整數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有|f（x）|≤1；
（3）設(shè)（2）中的p的最大值為g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，分別求出f（0），f（a）的值，從而得到結(jié)論；
（3）先求出g（a）的表達(dá)式，通過(guò)討論a的范圍，從而綜合得到結(jié)論．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f′（x）=3x²-3=3（x²-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）遞增，在（-1，1）遞減；
（2）∵f′（x）=3x²+3（1-a）x-3a=3（x-a）（x+1），且a＞0，
∴f（x）在[0，a]上單調(diào)遞減，在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（0）=1，f（a）=-$\frac{1}{2}$a³-$\frac{3}{2}$a²+1=$\frac{1}{2}$（1-a）（a+2）²-1，
當(dāng)f（a）≥-1時(shí)，取p=a，
此時(shí)，當(dāng)x∈[0，p]時(shí)有-1≤f（x）≤1成立，
當(dāng)f（a）＜-1時(shí)，由于f（0）+1=2＞0，f（a）+1＜0，
故存在p∈（0，a）使得f（p）+1=0，
此時(shí)，當(dāng)x∈[0，p]時(shí)有-1≤f（x）≤1成立，
綜上，對(duì)于正數(shù)a，存在正數(shù)p，使得當(dāng)x∈[0，p]時(shí)，有-1≤f（x）≤1．
（3）由（2）得f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（a），
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（a）≥-1，則g（a）是方程f（p）=1滿足p＞a的實(shí)根，
即2p²+3（1-a）p-6a=0滿足p＞a的實(shí)根，
∴g（a）=$\frac{3（a-1）+\sqrt{{9a}^{2}+30a+9}}{4}$，
又g（a）在（0，1]上單調(diào)遞增，故g（a）_max=g（1）=$\sqrt{3}$，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（a）＜-1，
由于f（0）=1，f（1）=$\frac{9}{2}$（1-a）-1＜-1，
故[0，p]⊆[0，1]，
此時(shí)g（a）≤1，
綜上，g（a）_max=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，本題屬于難題．