Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1-2a_n=3ⁿ，則a_n=3ⁿ-2ⁿ．

Answer 1

分析 通過a_n+1-2a_n=3ⁿ，可得$\frac{{a}_{n+2}-2{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}$=3，變形得：$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=2，進(jìn)而可得a_n+1-3a_n=2ⁿ，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n+1-2a_n=3ⁿ，∴a_n+2-2a_n+1=3ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+2}-2{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-2{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{{3}^{n}}$=3，
整理得：a_n+2=5a_n+1-6a_n，
變形得：$\frac{{a}_{n+2}-3{a}_{n+1}}{{a}_{n+1}-3{a}_{n}}$=2，
由a₁=1，a_n+1-2a_n=3ⁿ，可知a₂=5，
∴a_n+1-3a_n=2ⁿ，
∴（a_n+1-2a_n）-（a_n+1-3a_n）=3ⁿ-2ⁿ，
即a_n=3ⁿ-2ⁿ，
故答案為：3ⁿ-2ⁿ．

點評 本題考查求數(shù)列的通項，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．