Question

建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60°（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為平　 方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省，則斷面的外周長（梯形的上底線段BC與兩腰長的和）要最小．
求外周長的最小值，此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米？

Answer 1

解：由題意，如圖AD=BC+2×hcot60°=BC+，------------------------------------------------------（2分）
所以，---------------------------------------------（3分）
得．-----------------------------------------------------------------------------（4分）
設(shè)外周長為l，則，-----------------------------（7分）
=；----------------------------------------------------------------------------（10分）
當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．----------------------------------------------------（12分）
外周長的最小值為米，此時(shí)堤高h(yuǎn)為米．-----------------------------------------（14分）
分析：本題是一個(gè)應(yīng)用題，研究的是用料最省，此類題一般要建立函數(shù)關(guān)系，利用求最值得出最佳方案，由題設(shè)條件，此斷面的面積已知，求外周長的最小值，引入變量防洪堤高h(yuǎn)建立外周長關(guān)于h的函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的形式求最值即可
點(diǎn)評(píng)：本題考查已知三角函數(shù)模型的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是建立起符合條件的函數(shù)的模型，由于本題是一個(gè)研究用料最省的問題，故建立函數(shù)模型后要根據(jù)函數(shù)的形式選擇求最值的方法，由于本題在建立函數(shù)模型中出現(xiàn)了積為定值的形式，故采取了用基本不等式求最值，利用此法求最值有一易錯(cuò)點(diǎn)，即忘記驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，對(duì)規(guī)律性強(qiáng)的題一定要把握好規(guī)律，準(zhǔn)確記憶