Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，且a_n，a_n+1，

1

2n-1

成等差數(shù)列．又正項(xiàng)數(shù)列{b_n}滿足b₁=e，且

bn+1

是b_n與b_n+1的等比中項(xiàng)．
（1）求證：{2^n-1a_n}為等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求證?n∈N^*都有

n+1

an+1

-1≤lnb₁+lnb₂+…+lnb_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n，a_n+1，

1

2n-1

成等差數(shù)列，可得2a_n+1=a_n+

1

2n-1

，等式兩邊同時(shí)乘以2^n-1，得2ⁿa_n+1=2^n-1a_n+1，可得{2^n-1a_n}是等差數(shù)列，利用通項(xiàng)公式即可得出．
（2）即證2ⁿ-1≤lnb₁+lnb₂+…+lnb_n．

bn+1

是b_n與b_n+1的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng)，等價(jià)于b _n+1=b_n²+b_n
當(dāng)n=1時(shí)，所證的不等式易證成立
當(dāng)n≥2時(shí)，b _n+1=b_n²+b_n ＞b_n²，∴l(xiāng)nb_n+1＞2lnb_n，經(jīng)放縮后證明．

解答： 證明：（1）∵a_n，a_n+1，

1

2n-1

成等差數(shù)列，
∴2a_n+1=a_n+

1

2n-1

等式兩邊同時(shí)乘以2^n-1，得2ⁿa_n+1=2^n-1a_n+1
∴{2^n-1a_n}是等差數(shù)列，公差為1
又a₁=1，∴2⁰a₀=1
∴2^n-1a_n=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=

n

2n-1

；
（2）∵

n+1

an+1

=2n，
∴?n∈N^*都有

n+1

an+1

-1≤lnb₁+lnb₂+…+lnb_n．?2ⁿ-1≤lnb₁+lnb₂+…+lnb_n．
∵

bn+1

是b_n與b_n+1的等比中項(xiàng)的等比中項(xiàng)，等價(jià)于b _n+1=b_n²+b_n ．
∵4e＞8，∴b₁＞

-1+ 9

2

=1，b₁+1=

e

b1

＜e．
∴l(xiāng)nb₁＞ln1=0=2^1-1-1，lnb₁＜ln（b₁+1）＜1=2¹-1，故當(dāng)n=1時(shí)，所證的不等式成立．
當(dāng)n≥2時(shí)，b _n+1=b_n²+b_n ＞b_n²，∴l(xiāng)nb_n+1＞2lnb_n．
∴l(xiāng)nb_n＞2lnb_n-1＞…＞2^n-2lnb₂=2^n-2．
∴l(xiāng)nb₁+lnb₂+…+lnb_n＞0+1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1

點(diǎn)評：本題是數(shù)列與不等式的綜合題．考查數(shù)列性質(zhì)的判定，通項(xiàng)公式求解，放縮法證明不等式，數(shù)列求和．此類題聯(lián)通了高中數(shù)學(xué)主干知識和方法，是高考中常見的命題立意形式．