Question

已知．

（1）若

（2）當b為非零實數(shù)時，證明（-c）平行的切線；

（3）記函數(shù)||（-1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥．

Answer 1

（1）∵f′（x）=3x²+2bx+c,

由f（x）在x=1時，有極值-1得       

即解得   

當b=1，c=-5時，f′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1）,

當x>1時，f′（x）>0，當-<x<1時，f′（x）<0．

從而符合在x=1時，f（x）有極值．∴

（2）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²-c）x+y+1=0平行,

∵f′（t）=3t²+2bt+c,

直線（b²-c）x+y+1=0的斜率為c-b²,

∴3t²+2bt+c=c-b²,

即3t²+2bt+b²=0．

∵△=4（b²-3b²）=-8b²,

又∵b≠0，△<0．

從而方程3t²+2bt+b²=0無解,

因此不存在t，使f′（t）=c-b²,

即f（x）的圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線．

（3）證法一：∵|f′（x）|=|3（x+）²+c-|,

①若|-|>1，則M應是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一個，

∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12,

∴M>6，

從而M≥．    

②當-3≤b≤0時，2M≥|f′（-1）|+|f′（-）|=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=|（b-3）²|>3,

∴M≥．

③當0<b≤3時，2M≥|f′（1）|+|f′（-）|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3|=|（b+3）²|>3,

∴M≥．                                                                                                  

綜上所述，M≥．

證法二：f′（x）=3x²+2bx+c的頂點坐標是（-，），

①若|-|>1，則M應是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一個，

∴2M≥| f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12②

∴M>6，

從而M≥．    

②若|-|≤1，則M|f′（-1）|、|f′（1）|、||中最大的一個．

（i）當c≤-時，2M≥|f′（1）|+ |f′（-1）|≥|f′（1）+ f′（-1）|=|6+2x|≥3,

  M≥．

（ii）當c<-時，M≥||=-c≥-c>，

綜上所述，M≥成立．

證法三：∵M是|f′（x）|,x∈[-1,1]的最大值，

∴M≥|f′（0）|,M≥|f′（1）|，M≥|f′（-1）|． 

∴4M≥2|f′（0）|+|f′（1）|+|f′（-1）|≥|f′（1）+f′（-1）-2f′（0）|=6,

即M≥．