Question

已知函數(shù)滿足，且 在上恒成立.
(1)求的值；
(2)若,解不等式；
(3)是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上有最小值？若存在，請求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1），；（2）當(dāng)，，當(dāng)；（3）當(dāng)時(shí)，在上有最小值－5.

解析試題分析：本題考查計(jì)算能力和分類討論的數(shù)學(xué)思想.（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由二次函數(shù)知識求恒成立問題；（2）求導(dǎo)，化為時(shí)，對b的值分類討論，分別求解；（3）對函數(shù)求導(dǎo)后，其導(dǎo)函數(shù)是一個(gè)二次函數(shù)，根據(jù)對軸稱與區(qū)間的關(guān)系來分類討論.
試題解析：（1）；

恒成立；
即恒成立；
顯然時(shí)，上式不能恒成立；
∴，由于對一切則有：
，即，解得：；
∴，.
（2）  
由得：；
即，即 ；
∴當(dāng)，
，
當(dāng).
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在區(qū)間 上有最小值－5.
圖象開口向上且對稱軸為
①當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是遞增的；

解得與矛盾；
②當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上是遞減的，而在區(qū)間上是遞增的，
即
解得；
.
③當(dāng)，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上遞減的；
,即
解得,滿足
綜上知：當(dāng)時(shí)，在上有最小值－5.
考點(diǎn)：1、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用；2、二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)；3、分類討論的數(shù)學(xué)思想.