Question

5．設(shè)集合A為函數(shù)y=ln（-x²-2x+8）的定義域，集合B為函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域．集合C為不等式（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0的解集．
（1）求A∩B；
（2）若C⊆C_RA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由-x²-2x+8＞0解出A=（-4，2），利用基本不等式解出B=（-∞，-3）∪（1，+∞），從而解出A∩B；
（2）討論a的符號(hào)，解出C，利用C⊆C_RA的關(guān)系，得出C與C_RA的端點(diǎn)值大小關(guān)系，列出不等式解出．

解答 解：（1）由y=ln（-x²-2x+8）有意義得
-x²-2x+8＞0，解得-4＜x＜2．
∴A=（-4，2）．
當(dāng)x＞0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$-1≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$-1=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
當(dāng)x＜0時(shí)，x+$\frac{1}{x}$-1=-（-x-$\frac{1}{x}$）-1≤-2$\sqrt{-x•\frac{1}{-x}}$-1=-3，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)，
∴函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域?yàn)椋?∞，-3）∪（1，+∞）．
∴B=（-∞，-3）∪（1，+∞）
∴A∩B=（-4，-3）∪（1，2）．
（2）∁_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞）．
令（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）=0得
x₁=$\frac{1}{{a}^{2}}$，x₂=-4
①當(dāng)a＞0時(shí)，（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0的解為-4$＜x＜\frac{1}{{a}^{2}}$
∴C=（-4，$\frac{1}{{a}^{2}}$），顯然與C⊆C_RA矛盾．
②當(dāng)a＜0時(shí)，（ax-$\frac{1}{a}$）（x+4）≤0的解為x≤-4或x≥$\frac{1}{{a}^{2}}$．
若C⊆C_RA，則a²≥2，解得a≤-$\sqrt{2}$．
綜上所述：a的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域，值域，一元二次不等式的解法及集合運(yùn)算，屬于知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用．