Question

已知等差數列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項和為S_n．
（I）求a_n及S_n；
（II）求數列{

1

Sn

}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，利用等差數列的通項公式與前n項和公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S_n=n²+2n，可得S_n=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得a₁=3，d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
S_n=3n+

n(n-1)

2

×2=n²+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，S_n=n²+2n，
∴S_n=

1

n2+2n

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)，
∴T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)．
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)．

點評：本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．