Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出當(dāng)a=-1時(shí)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，切點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，令g（x）=ax²-x+1-a，x＞0，對(duì)a討論，當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a≠0時(shí)，①a=

1

2

，②若0＜a＜

1

2

，③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，寫(xiě)出單調(diào)區(qū)間即可．

解答： 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lnx+x+

2

x

-1（x＞0），
f′（x）=

1

x

+1-

2

x2

，f（2）=ln2+2，f′（2）=1，
則切線方程為：y=x+ln2；
（2）因?yàn)閒（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，
所以f′（x）=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

（x＞0），
令g（x）=ax²-x+1-a，x＞0，
（i）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x+1（x＞0），
所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)g（x）＞0，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＞0此時(shí)函數(shù)f，（x）單調(diào)遞增．
（ii）當(dāng)a≠0時(shí)，由f（x）=0，解得：x₁=1，x₂=1-

1

a

，
①a=

1

2

，函數(shù)f（x）在x＞0上單調(diào)遞減，
②若0＜a＜

1

2

，在（0，1），（

1

a

-1，+∞）單調(diào)遞減，在（1，

1

a

-1）上單調(diào)遞增．
③當(dāng)a＜0時(shí)，由于

1

a

-1＜0，
x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
x∈（1，∞）時(shí)，g（x）＜0，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)a≤0 時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
函數(shù)f（x）在 （1，+∞）  上單調(diào)遞增
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1），（

1

a

-1，+∞）單調(diào)遞減，
在（1，

1

a

-1）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．