Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx+a

x

（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1，且x≥1時，證明：f（x）≤1．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用最值即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為{x|x＞0}，
所以f′(x)=

1-lnx-a

x 2

．
令f'（x）=0，得x=e^1-a．
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，e1-a）	e1-a	（e1-a，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

-------（5分）
由表可知：f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，e^1-a），單調(diào)遞減區(qū)間是（e^1-a，+∞）．
所以f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f(x)極大值=f(e1-a)=ea-1．
（Ⅱ）當(dāng)a=1，f(x)=

lnx+1

x

，
令g(x)=f(x)-1=

lnx+1

x

-1，（x≥1），
∴g′(x)=-

lnx

x2

≤0，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即f（x）≤1．

點評：本題考查的是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)作為一門工具，常用來判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的極值，也是高考常的題型．