已知函數(shù)y=
2-x
2+x
+
2x-2
的定義域為M,
(1)求M;
(2)當x∈M時,求函數(shù)f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x的最大值.
分析:(1)根據(jù)根號有意義的條件和分母不能為0,求出函數(shù)的定義域;
(2)利用換元法,t=log2x,可得g(t)=2t2+at,利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最值;
解答:解:(1)函數(shù)y=
2-x
2+x
+
2x-2
有意義,故
可得
(x-2)(2-x)≤0
2x-2≥0
x≠-2
解得x∈[1,2];
(2)f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x,令t=log2x,
可得:g(t)=2t2+at,t∈[0,1],討論對稱軸可得:
對稱軸x=-
a
4
,
若-
a
4
1
2
即a≥-2,f(x)max=f(1)=a+2;
若-
a
4
1
2
即a<-2,f(x)max=f(0)=0;
∴g(t)max=
2+a,a≥-2
0    ,a<-2
;
∴函數(shù)f(x)=log2x•log2(x2)+a•log2x的最大值為:g(x)max=
2+a,a≥-2
0    ,a<-2
點評:此題考查函數(shù)的定義域及其求法,以及利用換元法求函數(shù)的最值問題,是一道基礎(chǔ)題;
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
2-x
2+x
+
2x-2
的定義域為M,
(1)求M;
(2)當x∈M時,求函數(shù)f(x)=2lo
g
2
2
x+4log2x 
的最大值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=
2-x
2+x
+lg(-x2+4x-3)
的定義域為M.
(1)求M;
(2)當x∈M時,求函數(shù)f(x)=a•2x+2+3•4x(a<-3)的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)y=2-x2+2x+8
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(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)y=
2-x
2+x
+
2x-2
的定義域為M,
(1)求M;
(2)當x∈M時,求函數(shù)f(x)=2lo
g22
x+4log2x 
的最大值.

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