Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD 為矩形，AB=8，AD=4，側(cè)面PAD為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60°．
（Ⅰ）求二面角A-PB-C的大��；
（Ⅱ）計(jì)算點(diǎn)A到面PBC的距離．

Answer 1

解：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)E，過E作AB的平行線交BC于F，再過P作PO垂直于面ABCD，易知PO交EF于O，則以O(shè)為原點(diǎn)，過O平行于EA的直線為x軸，OF所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．由已知AE=，PE=6，∠PEO=60°，得PO=3，OE=3
∴
∴，
設(shè)平面PAB的法向量為，則有，即
令z=1，得
設(shè)面PBC的法向量為=（m，n，1），則有，即
∴
∴的夾角θ的余弦
則根據(jù)圖形可知，所求二面角A-PB-C為鈍二面角，故大小為．
（Ⅱ）點(diǎn)A到平面PBC的距離
分析：（Ⅰ）取AD的中點(diǎn)E，過E作AB的平行線交BC于F，再過P作PO垂直于面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，過O平行于EA的直線為x軸，OF所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．從而可用坐標(biāo)表示點(diǎn)，進(jìn)而可得向量，
的坐標(biāo)，分別求出平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用向量的夾角θ的余弦，可求二面角A-PB-C的大�。�
（Ⅱ）利用點(diǎn)A到平面PBC的距離求解即可．
點(diǎn)評(píng)：本題以四棱錐為載體，考查面面角，考查點(diǎn)面距離，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角公式，點(diǎn)面距離公式求解時(shí)解題的關(guān)鍵