Question

（本小題滿分14分）已知關(guān)于的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．

（1）如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；

（2）若，證明：對(duì)任意的，都有；

（3）若對(duì)任意的、恒成立，試求的最大值．

Answer 1

（1）b＝－1，c＝3；（2）見解析；（3）k的最大值為

【解析】

試題分析：（1）【解析】
∵

由在處有極值，可得

解得，或 2分

若，，則，此時(shí)函數(shù)沒有極值 3分

若，，則

此時(shí)當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：

	－				－
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴ 當(dāng)時(shí)，有極大值

故，即為所求 4分

（2）證法一：

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外

∴在區(qū)間上的最值在兩端點(diǎn)處取得，故應(yīng)是和中較大的一個(gè)

∴，即 8分

證法二（反證法）：因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015060806010693884866/SYS201506080601128531987203_DA/SYS201506080601128531987203_DA.030.png">，所以函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之外

∴在區(qū)間上的最值在兩端點(diǎn)處取得，故應(yīng)是和中較大的一個(gè)

假設(shè)，則 6分

將上述兩式相加得: ，得，產(chǎn)生矛盾

∴ 8分

（3）【解析】

當(dāng)時(shí)，由可知 9分

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸位于區(qū)間之內(nèi)

此時(shí)，由，有

①若，則，則

于是

11分

②若，則，則，

于是， 13分

綜上可知，對(duì)任意的、都有

而當(dāng)，時(shí)，在區(qū)間上的最大值

故對(duì)任意的、恒成立的的最大值為 14分

考點(diǎn)：考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．