Question

16、如圖，將兩塊三角板拼接成直二面角A-CB-D，其中DB⊥CB，∠DCB=30°，AB=AC，AB⊥AC，E、F分別是AB、BC的中點．
（1）求證：EF∥平面ACD；
（2）求證：平面DEF⊥平面ABD．

Answer 1

分析：（1）由已知中，E、F分別是AB、BC的中點，根據(jù)三角形中位線定理，我們易得到EF∥AC，結(jié)合線面平行的判定定理，我們即可得到EF∥平面ACD；
（2）由已知中兩塊三角板拼接成直二面角A-CB-D，其中DB⊥CB，∠DCB=30°，AB=AC，AB⊥AC，我們易證明DB⊥AC，由（1）中的結(jié)論，我們進一步可以得到EF⊥平面ABD，結(jié)合面面垂直的判定定理，即可得到平面DEF⊥平面ABD．

解答：證明：（1）∵E，F(xiàn)分別為AB，CB中點，∴EF∥AC，（3分）
∵EF不在平面ACD中，AC在平面ACD中，∴EF∥ACD中（6分）
（2）∵平面DBC⊥平面ABC，平面DBC\cap平面ABC=BC，DB⊥BC，DB在平面BCD中∴DB⊥平面ABC，（8分）
又AC在平面ABC中∴DB⊥AC，∵EF∥AC，（11分）
∴EF⊥BD，EF⊥AB，∵AB∩BD=B，∴EF⊥平面ABD，
又EF在平面DEF中，∴平面DEF⊥平面ABD．（14分）

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面位置關(guān)系的判定定理及證明步驟是解答此類問題的關(guān)鍵．