Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）是否存在最小的正整數(shù)N，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式恒成立．

Answer 1

解：（1）由題意知，f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
b=-12時(shí)，由，得x=2（x=-3舍去），
當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f′（x）＞0，
所以當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（2）=4-12ln3
（2）由題意在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，
設(shè)g（x）=2x²+2x+b，則，解之得；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1），令函數(shù)h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
則，
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，h′（x）＞0
所以函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取，則有恒成立．
顯然，存在最小的正整數(shù)N=1，使得當(dāng)n≥N時(shí)，不等式恒成立
分析：（1）當(dāng)b=-12時(shí)，由得x=2，可判斷出當(dāng)x∈[1，2）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（2，3]時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，故f（x）在[1，3]的最小值在x=2時(shí)取得．
（2）要使f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，即f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即使在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個(gè)不等實(shí)根，可以利用一元二次函數(shù)根的分布可得，解之即可求b的范圍．
（3）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令，即可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題以函數(shù)為載體，考查函數(shù)的最值，考查函數(shù)的單調(diào)性．第一問判斷f（x）在定義域的單調(diào)性即可求出最小值．第二問將f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值問題轉(zhuǎn)化為f（x）在定義域內(nèi)與X軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，第三問的關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式．