Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4在x=2處取得極值，若m∈[-1，1]，則f（m）的最小值是

 

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Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：令導函數(shù)當x=2時為0，列出方程求出a值，利用導數(shù)求出f（m）的極值，判斷極小值且為最小值．

解答： 解：∵f′（x）=-3x²+2ax，
函數(shù)f（x）=-x³+ax²-4在x=2處取得極值，
∴-12+4a=0，解得a=3，
∴f′（x）=-3x²+6x，
∴當m∈[-1，1]時，f（m）=-m³+3m²-4，
f′（m）=-3m²+6m，
令f′（m）=0得m=0，m=2（舍去），
由于-1≤m＜0，f′（m）＜0，f（m）遞減，0＜m≤1，f′（m）＞0，f（m）遞增．
所以m=0時，f（m）取極小，也為最小，且為-4．
故答案為：-4．

點評：本題考查了利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值，以及求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，是中檔題．