Question

如圖，已知：在菱形ABCD中，∠DAB=60°，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，E，F(xiàn)分別是AB與PD的中點(diǎn).
（1）求證：PC⊥BD；
（2）求證：AF//平面PEC；
（3）求二面角P—EC—D的大小.

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）

證明：（1）連結(jié)AC，則AC⊥BD。
∵PA⊥平面ABCD，AC是斜線PC在平面ABCD上的射影，
∴由三垂線定理得PC⊥BD�！�……………4分
（2）取PC的中點(diǎn)K，連結(jié)FK、EK，則四邊形AEKF是平行四邊形。
∴AF//EK，又EK平面PEC，AF平面PEC，∴AF//平面PEC�！�………4分
（3）延長(zhǎng)DA、CE交于M，過(guò)A作AH⊥CM于H，
連結(jié)PH，由于PA⊥平面ABCD，可得PH⊥CM。
∴∠PHA為所求二面角P—EC—D的平面角�！�……………10分
∵E為AB的中點(diǎn)，AE//CD，∴AM=AD=2，
在△AME中，∠MAE=120°，
由余弦定理得


………………14分