Question

【題目】已知函數(shù)其中a為常數(shù)，設(shè)e為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當時，求過切點為的切線方程；

（2）若在區(qū)間上的最大值為，求a的值；

（3）若不等式恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解出切線斜率即可求解出對應(yīng)切線方程；

(2)根據(jù)的范圍分析函數(shù)的單調(diào)性，確定出最值即可求解出的值；

(3)采用分離參數(shù)的方法，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)新函數(shù)的最值即可求解出的取值范圍.

（1）當時，，

則，

所以，

切點，即，

所以切線方程為，即.

（2），

當時，，在上單調(diào)遞增，，無最大值.

當時，在上，單調(diào)遞增，

在上，單調(diào)遞增，

若函數(shù)在上取得最大值，則，且，

則.

（3）不等式恒成立，則恒成立，

，

令，（）

，

在上，，單調(diào)遞減，

在上，，單調(diào)遞增，

所以，

所以.