已知橢圓E:(a>b>0)過點(diǎn)P(3,1),其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且
(1)求橢圓E的方程;
(2)若M,N是直線x=5上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且F1M⊥F2N,則以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)?請(qǐng)說明理由.
【答案】分析:(1)根據(jù)題意分別寫出,所以,解得c=4,再結(jié)合橢圓的定義可得a得數(shù)值,進(jìn)而得到橢圓E的方程.
(2)設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(5,m),(5,n),則,所以,即mn=-9,并且得到圓C的方程為,化簡(jiǎn)可得(x-5)2+y2-(m+n)y-9=0,令y=0,可得x=8或2,即可得到答案.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)F1,F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(-c,0),(c,0)(c>0),
,
,
解得c=4,
所以
所以,
所以橢圓E的方程為
(2)設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(5,m),(5,n),則,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124600395730191/SYS201310251246003957301020_DA/11.png">,
所以,即mn=-9,
又因?yàn)閳AC的圓心為,半徑為
所以圓C的方程為,
即(x-5)2+y2-(m+n)y+mn=0,即(x-5)2+y2-(m+n)y-9=0,
令y=0,可得x=8或2,
所以圓C必過定點(diǎn)(8,0)和(2,0).
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)中檔題.考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,以及圓與橢圓的綜合等知識(shí),同時(shí)考查了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年河南省洛陽(yáng)市高三上學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題

(本小題滿分12分)

    已知橢圓E:(a>b>0)的離心率e=,左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)P(2,),點(diǎn)F2在線段PF1的中垂線上

   (1)求橢圓E的方程;

   (2)設(shè)l1,l2是過點(diǎn)G(,0)且互相垂直的兩條直線,l1交E于A, B兩點(diǎn),l2交E于C,D兩點(diǎn),求l1的斜率k的取值范圍;

   (3)在(2)的條件下,設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N,試問直線MN是否恒過定點(diǎn)?

若經(jīng)過,求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不經(jīng)過,請(qǐng)說明理由。

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓E:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為數(shù)學(xué)公式,直線l:x+2y-2=0與x軸,y軸分別交于點(diǎn)A,B.
(Ⅰ)若點(diǎn)A是橢圓E的一個(gè)頂點(diǎn),求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若線段AB上存在點(diǎn)P滿足|PF1+PF2|=2a,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓E:數(shù)學(xué)公式(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),離心率為數(shù)學(xué)公式,A(-a,0),B(0,b),且△ABF的面積為數(shù)學(xué)公式,設(shè)斜率為k的直線過點(diǎn)F,且與橢圓E相交于M、N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若 數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:江西省同步題 題型:解答題

已知橢圓E:(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(c,0),離心率為,A(﹣a,0),
B(0,b),且△ABF的面積為,設(shè)斜率為k的直線過點(diǎn)F,且與橢圓E相交于M、N兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)若 ·,求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年福建省漳州市漳浦縣道周中學(xué)高考數(shù)學(xué)模擬試卷(解析版) 題型:解答題

已知橢圓E:(a>b>0)過點(diǎn)P(3,1),其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且
(1)求橢圓E的方程;
(2)若M,N是直線x=5上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且F1M⊥F2N,圓C是以MN為直徑的圓,其面積為S,求S的最小值以及當(dāng)S取最小值時(shí)圓C的方程.

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