Question

已知曲線C：xy=1，過C上一點A_n（x_n，y_n）作一斜率為的直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1），點列A_n（n=1，2，3，…）的橫坐標構成數列{x_n}，其中．
（1）求x_n與x_n+1的關系式；
（2）求證：{}是等比數列；
（3）求證：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1（n∈N，n≥1）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據點A_n的坐標表示出斜率k_n，代入求得x_nx_n+1=x_n+2整理后即可求得x_n與x_n+1的關系式；
（2））記，把（1）中求得x_n與x_n+1的關系式代入可求得a_n+1=-2a_n推斷數列{a_n}即：{}是等比數列；
（3）由（2）可求得的表達式，進而求得x_n，進而看n為偶數時，求得（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=＜，進而可證（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…+（-1）ⁿx_n＜1；再看n為奇數時，
前n-1項為偶數項，則可證出：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜＜1，最后綜合原式可證．
解答：解：（1）過C：上一點A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線交C于另一點A_n+1，
則，
于是有：x_nx_n+1=x_n+2
即：．
（2）記，
則，
因為，
因此數列{}是等比數列．
（3）由（2）知：，．
①當n為偶數時有：（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n=
=，
于是在n為偶數時有：．
1在n為奇數時，前n-1項為偶數項，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂++（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n．
綜合①②可知原不等式得證．
點評：本題主要考查了數列的遞推式．考查了學生推理能力和基本的運算能力．