Question

過拋物線x²=2y上兩點A（-1，）、B（2，2）分別作拋物線的切線，兩條切線交于點M．
（1）求證：∠BAM=∠BMA；
（2）記過點A、B且中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線為C，F(xiàn)₁、F₂為C的兩個焦點，B₁、B₂為C的虛軸的兩個端點，過點B₂作直線PQ分別交C的兩支于P、Q，當∈（0，4]時，求直線PQ的斜率k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵y=x²，
∴y'=x，
切于點A（-1，）的切線方程為y-=-（x+1），
切于點B（2，2）的切線方程為y-2=2（x-2），
聯(lián)立解得M（，-1），
∵|BA|=|BM|，
∴∠BAM=∠BMA．
（2）設雙曲線方程為mx²-ny²=1，
由題意，有m-n=1且4m-4n=1，
解得m=，n=1，
∴雙曲線方程為x²-y²=1，
不妨設B₁（0，1），B₂（0，-1），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴=（-x₁，1-y₁），=（-x₂，1-y₂），
∴=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]．
設直線PQ的方程為y=kx-1（k必存在），
由，
得（-k²）x²+2kx-2=0
△=4k²+8（-k²）＞0
x₁+x₂=，x₁x₂=
=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂
=x₁x₂+1-k（x₁+x₂）+2+k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
將x₁+x₂=，x₁x₂=代入，
得=
=
=．
∴=∈（0，4]，
即0＜≤4，
∴，
由①得，或，
由②得k²≤1，或，
故k²≤1，或
解得k∈（-∞，-）∪[-1，1]∪（）．
分析：（1）由y=x²，知y'=x，切于點A（-1，）的切線方程為y-=-（x+1），切于點B（2，2）的切線方程為y-2=2（x-2），聯(lián)立解得M（，-1），由|BA|=|BM|，能夠證明∠BAM=∠BMA．
（2）設雙曲線方程為mx²-ny²=1，由題意，知m-n=1且4m-4n=1，故m=，n=1，雙曲線方程為x²-y²=1．設B₁（0，1），B₂（0，-1），設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），故=x₁x₂+1-（y₁+y₂）+y₁y₂∈（0，4]，設直線PQ的方程為y=kx-1（k必存在），再由根的判別式和韋達定理能求出直線PQ的斜率k的取值范圍．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用，考查運算求解能力和論證推導能力，綜合性強，難度大，是高考的重點，易錯點是計算量大，容易失誤．解題時要認真審題，注意導數(shù)的合理運用．