Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=PB=PD=2， ．
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若E是PA的中點(diǎn)，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：設(shè)AC，BD交點(diǎn)為O，連接PO，
∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，O是AC、BD的中點(diǎn)，
∵PB=PD，∴PO⊥BD，
又PO平面POC，AC平面POC，PO∩AC=O，
∴BD⊥平面POC，∵PC平面POC，
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）解：∠BAD=60°，AB=AD=2，
∴△ABD是等邊三角形，
又AB=PB=PD，
∴△PBD是等邊三角形，
∴OA=OP= ，
∴OA2+OP2=PA2 ， ∴OA⊥OP，
又OP⊥OB，OA∩OB=O，
∴OP⊥平面ABCD．
以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B，OC，OP為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，﹣ ，0），B（1，0，0），C（0， ，0），P（0，0， ），
∵E是PA的中點(diǎn)，∴E（0，﹣ ， ），
∴ =（0，﹣ ， ）， =（﹣1， ，0），
設(shè)平面BCE的法向量為 =（x，y，z），則 ，
∴ ，令y=1得 =（ ，1，3），
又BD⊥平面POC，
∴ =（1，0，0）是平面ACE的一個(gè)法向量，
∴cos＜ ＞= = = ，
∵二面角A﹣EC﹣B為銳二面角，
∴二面角A﹣EC﹣B的余弦值為
【解析】（Ⅰ）由BD⊥AC，BD⊥PO即可得出BD⊥平面PAC，故而BD⊥PC；（Ⅱ）證明OP⊥平面ABCD，建立空間坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量的夾角，從而得出二面角的大小．
【考點(diǎn)精析】掌握空間中直線與直線之間的位置關(guān)系是解答本題的根本，需要知道相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．