Question

拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B在拋物線(xiàn)上，且∠AFB=120°，過(guò)弦AB中點(diǎn)M作準(zhǔn)線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為M₁，則

| MM1|

|AB|

的最大值為

3

3

．

Answer 1

分析：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF．由拋物線(xiàn)定義得2|MM₁|=a+b，由余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，進(jìn)而根據(jù)基本不等式，求得|AB|的取值范圍，從而得到本題答案．

解答：解：設(shè)|AF|=a，|BF|=b，連接AF、BF
由拋物線(xiàn)定義，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MM₁|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab
配方得，|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-

1

4

（a+b）²=

3

4

（a+b）²
得到|AB|≥

3

2

（a+b）．
所以

| MM1|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

3 2 (a+b)

=

3

3

，
即

| MM1|

|AB|

的最大值為

3

3

．
故答案為：

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題在拋物線(xiàn)中，利用定義和余弦定理求

| MM1|

|AB|

的最大值，著重考查拋物線(xiàn)的定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、基本不等式求最值和余弦定理的應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．