Question

2．函數(shù)f（x）=sinx+x³．數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=pn²+qn，p，q為常數(shù)，且a_n∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），若f（a₁₀）＜0，則f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₈）+f（a₁₉）取值（　�。�

• A． 恒為正數(shù)
• B． 恒為負數(shù)
• C． 恒為零
• D． 可正可負

Answer 1

分析 運用奇偶性的定義，判斷f（x）為奇函數(shù)，再由導數(shù)判斷f（x）遞增，判斷數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，結(jié)合倒序求和，即可判斷所求取值符號．

解答 解：由f（x）=sinx+x³．可得
f（-x）=sin（-x）+（-x）³=-（sinx+x³）=-f（x），
則f（x）為奇函數(shù)，且f（0）=0，
由f（x）的導數(shù)為cosx+3x²＞0在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）恒成立，
即有f（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）遞增，
數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=pn²+qn，則a_n=S_n-S_n-1=pn²+qn-p（n-1）²-q（n-1）=2pn+q-p，
n=1時，a₁=S₁=q+p，則數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
即有a₁+a₁₉=a₂+a₁₈=…=2a₁₀，
由f（a₁₀）＜0=f（0），可得a₁₀＜0，
則a₁＜-a₁₉，a₂＜-a₁₈，…，a₁₁＜-a₉，
即有f（a₁）＜f（-a₁₉）=-f（a₁₉）
即為f（a₁）+f（a₁₉）＜0，
同理可得f（a₂）+f（a₁₈）＜0，
…，f（a₁₁）+f（a₉）＜0，
設(shè)S=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₈）+f（a₁₉），
S=f（a₁₉）+f（a₁₈）+…+f（a₂）+f（a₁），
則2S=[f（a₁）+f（a₁₉）]+[f（a₂）+f（a₁₈）]+…+[f（a₁₉）+f（a₁）]＜0，
即有S＜0．
故選B．

點評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運用，主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應用，考查等差數(shù)列的通項和求和公式，同時考查倒序求和的方法，考查推理能力，屬于中檔題．