Question

（2008•上海一模）在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過方差的概念，其計(jì)算公式為

σ

2

=

1

N

[(x1-μ)2+(x2-μ)2+…+(xn-μ)2]，并且知道，其中μ=

1

N

(x1+x2+…+xn)為x₁、x₂、…、x_n的平均值．
類似地，現(xiàn)定義“絕對差”的概念如下：設(shè)有n個(gè)實(shí)數(shù)x₁、x₂、…、x_n，稱函數(shù)g（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+…+|x-x_n|為此n個(gè)實(shí)數(shù)的絕對差．
（1）設(shè)有函數(shù)g（x）=|x+1|+|x-1|+|x-2|，試問當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)g（x）取到最小值，并求最小值；
（2）設(shè)有函數(shù)g（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+…+|x-x₂|，（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R），
試問：當(dāng)x為何值時(shí)，函數(shù)g（x）取到最小值，并求最小值；
（3）若對各項(xiàng)絕對值前的系數(shù)進(jìn)行變化，試求函數(shù)f（x）=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|（x∈R）的最值；
（4）受（3）的啟發(fā)，試對（2）作一個(gè)推廣，給出“加權(quán)絕對差”的定義，并討論該函數(shù)的最值（寫出結(jié)果即可）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論法化簡g（x）然后做出其圖象依據(jù)圖象即可求出最小值．
（2）將g（x）首尾兩項(xiàng)結(jié)合再利用絕對值的幾何意義可得當(dāng)x取中間的數(shù)時(shí)g（x）最小而中間的數(shù)要視n的奇偶性而定故要對n的奇偶性討論．
（3）根據(jù)零點(diǎn)分區(qū)間討論法化簡f（x）然后做出其圖象依據(jù)圖象的性質(zhì)即可求出最值．
（4）根據(jù)函數(shù)f（x）=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|（x∈R）可知由于3+2+（-4）=1＞0則f（x）_min存在f（x）_max不存在故可構(gòu)造函數(shù)f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R）為n個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…x_n的加權(quán)絕對值然后結(jié)合a₁+a₂+…+a_n的取值情況給出結(jié)論即可．

解答：解：（1）g(x)=

2-3x，x＜-1 4-x，-1≤x＜1 2+x，1≤x＜2 3x-2，x≥2

，由單調(diào)性可知（或由圖象可知）
當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值，g（x）_min=g（1）=3；
（2）若n為奇數(shù)，則當(dāng)x=

x

n+1 2

時(shí)，有g(x

)

min

=g(

x

n+1 2

)=

n

i= n+1 2 +1

x

i

-

n+1 2 -1

i=1

x

i

，
若n為偶數(shù)，則當(dāng)x∈[

x

n 2

，

x

n 2 +1

]時(shí)，有g(x

)

min

=g(

x

n 2

)=

n

i= n 2 +1

x

i

-

n+1 2

i=1

x

i

（3）由y=f(x)=

-x-27，x＜-3 5x-11，-3≤x＜1 9x-13，1≤x＜5 x+27，x≥5

⇒f（x）_min=f（-3）=-26，f（x）_max不存在．
（4）設(shè)a₁，a₂，…，a_n為實(shí)數(shù)，定義函數(shù)f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R）為n個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，…x_n的加權(quán)絕對值；
以下求該函數(shù)的最值：
f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|=

-( a   1 + a   2 +… a   n )x+( a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n )x≤ x   1 [ a   1 -( a   2 +…+ a   n )]x+(- a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n ) x   1 ＜x≤ x   2 … ( a   1 + a   2 +… a   n )x-( a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n )x＞ x   n

當(dāng)a₁+a₂+…+a_n＜0時(shí)，f（x）_max=max{f（x₁），f（x₂），…，f（x_n）}，f（x）_min不存在；
當(dāng)a₁+a₂+…+a_n＞0時(shí)，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂），…，f（x_n）}，f（x）_max不存在；
當(dāng)a₁+a₂+…+a_n=0時(shí)，

f(x )   max =max{f( x   1 )，f( x   2 )，…，f( x   n )}， f(x )   min =min{f( x   1 )，f( x   2 )，…，f( x   n )}.

點(diǎn)評：本題屬新定義題．解題的關(guān)鍵是要分析新定義的內(nèi)容，然后結(jié)合現(xiàn)有的知識去進(jìn)行求解；比如第一問、第三問；而第二第四問分別是第一第三問的推廣這要求對第一第三問分析理解透徹．