(本小題滿分12分)
已知拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450604418.gif)
(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450620264.gif)
)的焦點為橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450635491.gif)
的右焦點,點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450651200.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450666206.gif)
為拋物線上的兩點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450682209.gif)
是拋物線的頂點,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450713238.gif)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450729241.gif)
.
(Ⅰ)求拋物線的標準方程;
(Ⅱ)求證:直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450760454.gif)
;
(Ⅲ)設(shè)弦
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
的中點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450791202.gif)
,求點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450791202.gif)
到直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450822286.gif)
的距離的最小值.
解:(Ⅰ)橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450635491.gif)
的右焦點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450854279.gif)
,由題意知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450869287.gif)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450885241.gif)
.……2分
拋物線的標準方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450900387.gif)
.……………………………………………………3分
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317045093272.gif)
(Ⅱ)解法一:設(shè)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451056436.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451088440.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451103442.gif)
.
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451134625.gif)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451134537.gif)
.…………………………………4分
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451368603.gif)
.…………………………………………………5分
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450713238.gif)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450729241.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451524544.gif)
,
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451540900.gif)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451556234.gif)
.……………………
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317045158772.gif)
……………7分
∴直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451618425.gif)
,該直線恒過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450760454.gif)
.……………………8分
解法二:①當直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
的斜率不存在時,易求直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451680232.gif)
,
直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451727284.gif)
. ……………………………………………………………4分
②當直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
的斜率存在時,設(shè)直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
的方程為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451883426.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451977310.gif)
,
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451992615.gif)
得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452008543.gif)
.
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452039669.gif)
. ………………………………………………5分
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450713238.gif)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450729241.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170451524544.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452180926.gif)
,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452195279.gif)
. ……………………………7分
直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450744235.gif)
的方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452367572.gif)
該直線恒過定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450760454.gif)
.……………8分
(Ⅲ)點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452663618.gif)
到直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317045269465.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170450822286.gif)
的距離:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231704527413370.gif)
10分
∴當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082317045275772.gif)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452866398.gif)
時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452882198.gif)
取最小值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170452913291.gif)
.……………………………………………12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分13分)
如圖,設(shè)拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317815633.gif)
的準線與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317831187.gif)
軸交于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317846213.gif)
,焦點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317862215.gif)
;以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317877260.gif)
為焦點,離心率
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317893278.gif)
的橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317924222.gif)
與拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317940218.gif)
在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317831187.gif)
軸上方的交點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317971202.gif)
,延長
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317987252.gif)
交拋物線于點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170318002216.gif)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170318018327.gif)
是拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317940218.gif)
上一動點,且
M在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317971202.gif)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170318002216.gif)
之間運動.
(1)當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170318205245.gif)
時,求橢圓
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170317924222.gif)
的方程;
(2)當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170318236423.gif)
的邊長恰好是三個連續(xù)的自然數(shù)時,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170318252446.gif)
面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
直線L過點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823171026161571.png)
且與雙曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823171026176612.png)
有且僅有一個公共點,則這樣的直
線有( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
(本題滿分14分)
在直角坐標系
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165922941357.gif)
中,點
P到兩
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082316592295772.gif)
點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923019356.gif)
、
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923035345.gif)
的距離之和等于6,設(shè)點
P的軌跡為曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923050196.gif)
,直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923081455.gif)
與曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923050196.gif)
交于
A、
B兩點.
(Ⅰ)求曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923050196.gif)
的方程;
(Ⅱ)若以線段AB為直徑的圓過坐標原點,求
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923144204.gif)
的值;
(Ⅲ)當實數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923144204.gif)
取何值時,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165923191294.gif)
的面積最大,并求出面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知動點C到定點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004679392.gif)
的距離比到直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004694227.gif)
的距離少1,
(1)求動點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004710205.gif)
的軌跡的方程;
(2)設(shè)A、B是軌跡
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004710205.gif)
上異于原點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004881209.gif)
的兩個不同點,直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004913238.gif)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004928241.gif)
的傾
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/2014082316500494465.gif)
斜角分別為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004959201.gif)
和
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165004975217.gif)
,
當
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165005006264.gif)
變化且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165005037501.gif)
時,證明直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823165005053235.gif)
恒過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175247436200.gif)
為拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175247452438.gif)
的焦點,與拋物線相切于點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175247468323.gif)
的直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175247483185.gif)
與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175247499187.gif)
軸的交點為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175247514216.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823175247530322.gif)
_________.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172120707185.gif)
與拋物線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172120722205.gif)
,當直線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172120753182.gif)
從
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172120769198.gif)
開始在平面上繞
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172120785209.gif)
點按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)的角度不超過
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172120800255.gif)
)時,它掃過的面積
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172120941203.gif)
是時間
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823172120956185.gif)
的函數(shù),則函數(shù)圖象大致是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231721209871413.jpg)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408231721210192623.gif)
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
若直線y=2與曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170637495489.gif)
有兩個交點,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823170637511192.gif)
的取值范圍是
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
給出下列命題:
①若橢圓長軸長與短軸長的和為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336409216.gif)
,焦距為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336424198.gif)
,則橢圓的標準方程為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336440545.gif)
;
②曲線
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336455411.gif)
在點
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336471298.gif)
處的切線方程是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336487418.gif)
;
③命題“若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336518306.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336565273.gif)
”的逆否命題是:“若
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336580269.gif)
,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336596312.gif)
”;
④高臺跳水運動員在
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336611185.gif)
秒時距水面高度
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336643678.gif)
(單位:米),則該運動員的初速度為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336658226.gif)
(米/秒);
⑤“
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336674241.gif)
”是“
![](http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823162336689310.gif)
”的充分條件。
正確的命題是
。
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