Question

形狀如圖所示的三個(gè)游戲盤(pán)中（圖（1）是正方形，M、N分別是所在邊中點(diǎn)，圖（2）是半徑分別為2和4的兩個(gè)同心圓，O為圓心，圖（3）是正六邊形，點(diǎn)P為其中心）各有一個(gè)玻璃小球，依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤(pán)后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個(gè)盤(pán)中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（II）用隨機(jī)變量ζ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒(méi)有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ζ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（I）“一局游戲后，這三個(gè)盤(pán)中的小球都停在陰影部分”分別記為事件A₁、A₂、A₃，
由題意知，A₁、A₂、A₃互相獨(dú)立，
且P（A₁）=，P（A₂）=，P（A₃）=，…（3分）
∴P（A₁ A₂ A₃）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）=××=…（6分）
（II）一局游戲后，這三個(gè)盤(pán)中的小球都停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，相應(yīng)的小球沒(méi)有停在陰影部分的事件數(shù)可能取值為3，2，1，0，所以ξ可能的取值為1，3，則
P（ξ=3）=P（A₁ A₂ A₃）+P（••）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）+P（）P（）P（）
=××+××=，
P（ξ=1）=1-=． …（8分）
所以分布列為

ξ	1	3
P

…（10分）
數(shù)學(xué)期望Eξ=1×+3×=． …（12分）
分析：（I）先根據(jù)幾何概型的概率公式得到在三個(gè)圖形中，小球停在陰影部分的概率，因?yàn)槿齻�(gè)小球是否停在陰影部分相互之間沒(méi)有關(guān)系，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（II）根據(jù)一次游戲結(jié)束小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，得到ξ的可能取值是1，3，當(dāng)變量等于3時(shí)，表示三個(gè)小球都在陰影部分或三個(gè)小球都不在陰影部分，這兩種情況是互斥的，得到概率，分布列和期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型的概率公式，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個(gè)典型的綜合題目，可以作為高考卷中的題目出現(xiàn)．